Was ist die Macht der Zahl?

• Gründe

Bitte beachten Sie, dass sich dieser Abschnitt nur mit einem natürlichen Indikator und Null befasst.

Das Konzept und die Eigenschaften von Abschnitten mit rationalen Exponenten (mit negativen und gebrochenen) werden in den Lektionen für die 8. Klasse besprochen.

Also, lasst uns verstehen, was die Macht der Zahl ist. Um das Produkt der Nummer selbst mehrmals auf sich selbst aufzuzeichnen, verwenden Sie die abgekürzte Schreibweise.

Anstelle des Produkts von sechs identischen Faktoren 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 schreiben sie 4 6 und sagen "vier bis sechsten Grad".

4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Der Ausdruck 4 6 wird als Potenz der Zahl bezeichnet, wobei:

• 4 - die Basis des Studiums;
• 6 - Exponent.

Im Allgemeinen wird der Grad mit der Basis "a" und dem Index "n" mit dem folgenden Ausdruck geschrieben:

Der Grad der Zahl "a" mit dem natürlichen Index "n", größer als 1, ist das Produkt der "n" gleichen Faktoren, von denen jeder gleich der Zahl "a" ist.

Die Notation „a n“ lautet wie folgt: „aber bis zur Potenz von n“ oder „die n-te Potenz der Zahl a“.

Die Ausnahmen sind Datensätze:

• a 2 - kann als "Quadrat" ausgesprochen werden;
• a 3 - kann als "aber in einem Würfel" ausgesprochen werden.

Natürlich können die obigen Ausdrücke gelesen werden, um den Grad zu bestimmen:

• a 2 - "und im zweiten grad";
• a 3 - "und im dritten grad."

Sonderfälle treten auf, wenn der Exponent eins oder null ist (n = 1; n = 0).

Der Grad der Zahl "a" mit dem Index n = 1 ist die Zahl selbst:
a 1 = a

Jede Zahl im Nullgrad ist eins.
a 0 = 1

Null in jedem natürlichen Grad ist Null.
0 n = 0

Die Einheit ist zu irgendeinem Grad gleich 1.
1 n = 1

Der Ausdruck 0 0 (null bis null) wird als bedeutungslos betrachtet.

Beim Lösen von Beispielen muss man sich daran erinnern, dass das Erheben einer Potenz als das Finden eines numerischen oder alphabetischen Wertes bezeichnet wird, nachdem er eine Potenz erreicht hat.

Ein beispiel Grad erhöhen.

• 5 3 = 5 · 5 · 125 = 125
• 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
• (

Eine negative Zahl erhöhen

Die Basis des Grades (eine Zahl, die zu einer Potenz angehoben wird) kann eine beliebige Zahl sein - positiv, negativ oder null.

Wenn Sie eine positive Zahl erreichen, erhalten Sie eine positive Zahl.

Beim Konstruieren eines natürlichen Grads von Null wird eine Null erhalten.

Wenn Sie eine negative Zahl auf eine Potenz erhöhen, kann das Ergebnis entweder eine positive oder eine negative Zahl sein. Es hängt davon ab, ob der Exponent ungerade oder ungerade ist.

Betrachten Sie Beispiele für die Anhebung negativer Zahlen.

Aus den betrachteten Beispielen wird deutlich, dass eine negative Zahl erhalten wird, wenn eine negative Zahl ungerade angehoben wird. Da das Produkt aus einer ungeraden Anzahl negativer Faktoren negativ ist.

Wenn eine negative Zahl auf eine gerade Potenz erhöht wird, erhält man eine positive Zahl. Da ist das Produkt aus einer geraden Anzahl von negativen Faktoren positiv.

Eine zu einer geraden Potenz erhöhte negative Zahl ist eine positive Zahl.

Eine negative Zahl, die zu einer ungeraden Potenz angehoben wird, ist eine negative Zahl.

Das Quadrat einer beliebigen Zahl ist eine positive Zahl oder Null, das heißt:

a 2 ≥ 0 für irgendein a.

• 2 · (–3) 2 = 2 · (-3) · (-3) = 2 · 9 = 18
• -5 · (-2) 3 = -5 · (−8) = 40

Beachten Sie!

Beim Lösen von Beispielen für die Potenzierung machen sie häufig Fehler und vergessen, dass die Einträge (–5) 4 und –5 4 unterschiedliche Ausdrücke sind. Die Ergebnisse der Exponentiation dieser Ausdrücke sind unterschiedlich.

(-5) 4 zu berechnen bedeutet, den Wert der vierten Potenz einer negativen Zahl zu finden.

Wenn Sie „−5 4“ finden, bedeutet dies, dass das Beispiel in 2 Schritten gelöst werden muss:

1. Erhöhen Sie zur vierten Potenz eine positive Zahl 5.
   5 4 = 5 · 5 · 5 = 625
2. Setzen Sie das Minuszeichen vor das Ergebnis (dh führen Sie die Subtraktion durch).
   –5 4 = –625

Ein beispiel Berechnen Sie: −6 2 - (−1) 4

1. 6 2 = 6 · 6 = 36
2. -6 2 = -36
3. (-1) 4 = (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1
4. - (- 1) 4 = -1
5. −36 - 1 = −37

Die Vorgehensweise in den Beispielen mit Abschlüssen

Die Berechnung des Werts wird als Potenzierungsaktion bezeichnet. Dies ist die Aktion des dritten Schritts.

In Ausdrücken mit Potenzen, die keine Klammern enthalten, führen sie zuerst eine Potenz aus, multiplizieren und teilen sich dann und addieren und subtrahieren sie am Ende.

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, führen Sie zuerst in der obigen Reihenfolge die Aktionen in Klammern aus und dann die restlichen Aktionen in der gleichen Reihenfolge von links nach rechts.

Um die Lösung von Beispielen zu erleichtern, ist es hilfreich, die Gradtabelle zu kennen und zu verwenden, die Sie kostenlos auf unserer Website herunterladen können.

Um Ihre Ergebnisse zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner für die Abschlusserhebung auf unserer Website verwenden.

Zahlenzahl: Definitionen, Bezeichnung, Beispiele.

In diesem Artikel werden wir den Grad der Anzahl verstehen. Hier geben wir Definitionen des Grades einer Zahl an, wobei alle möglichen Indikatoren des Grades detailliert betrachtet werden, beginnend mit dem natürlichen Indikator und enden mit dem Irrationalen. In dem Material finden Sie viele Beispiele für Grade, die alle entstehenden Feinheiten abdecken.

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Grad mit einem natürlichen Indikator, Quadrat der Zahl, Würfel der Zahl

Zunächst werden wir den Grad einer Zahl mit einem natürlichen Index definieren. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir, dass die Definition des Grades von a mit einem natürlichen Index n für eine reelle Zahl a gegeben ist, die wir als Basis des Grades bezeichnen, und eine natürliche Zahl n, die wir als Exponenten bezeichnen. Wir weisen auch darauf hin, dass der Grad mit dem natürlichen Index durch das Produkt bestimmt wird, sodass Sie zum Verständnis des unten stehenden Materials eine Vorstellung von der Multiplikation der Zahlen haben müssen.

Der Grad von a mit einem natürlichen Index n ist ein Ausdruck der Form a n, deren Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, das heißt.
Insbesondere ist der Grad von a mit dem Index 1 die Zahl a selbst, dh eine 1 = a.

Aus dieser Definition wird klar, dass man mit Hilfe eines Abschnitts mit einem natürlichen Index die Werke mehrerer identischer Faktoren notieren kann. Zum Beispiel kann 8 · 8 · 8 · 8 als Grad 8 4 geschrieben werden. Dies ist analog dazu, wie die Summe der identischen Terme mit einem Werk geschrieben wird, zum Beispiel 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (siehe den Artikel allgemeine Vorstellung von der Multiplikation der natürlichen Zahlen).

Gleich sollte über die Regeln der Lesegrade gesagt werden. Der universelle Weg, einen n-Datensatz zu lesen, lautet: "a to the power of n". In manchen Fällen sind auch solche Varianten zulässig: "a bis n-ter Grad" und "n-te Potenz der Zahl a". Nehmen Sie beispielsweise die Note 8 12, dies ist „acht zur Potenz von zwölf“ oder „acht zur zwölften Potenz“ oder „die zwölfte Potenz von acht“.

Der zweite Grad der Nummer sowie der dritte Grad der Nummer haben eigene Namen. Die zweite Potenz der Zahl wird als Quadrat der Zahl bezeichnet. Beispielsweise liest 7 2 "sieben Quadrate" oder "Quadrate der Zahl Sieben". Die dritte Potenz einer Zahl wird als Würfel einer Zahl bezeichnet. Zum Beispiel können 5 3 als "fünf in einem Würfel" oder "ein Würfel der Zahl 5" gelesen werden.

Es ist an der Zeit, Beispiele für Abschlüsse mit natürlichen Indikatoren anzugeben. Beginnen wir mit dem Grad 5 bis 7, hier ist 5 die Basis des Grads und 7 der Exponent. Ein anderes Beispiel: Der Dezimalbruch von 4.32 ist die Basis und die positive ganze Zahl 9 ist ein Exponent (4.32) 9.

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis von Grad 4.32 in Klammern steht: Um Abweichungen zu vermeiden, werden alle Grundlagen des Grads in Klammern angegeben, die sich von den natürlichen Zahlen unterscheiden. Als Beispiel geben wir die folgenden Abschlüsse mit natürlichen Indikatoren an. Ihre Basis ist keine natürliche Zahl, daher sind sie in Klammern angegeben. Nun, zur vollständigen Klarheit zeigen wir in diesem Moment den Unterschied, der in den Datensätzen der Form (−2) 3 und –2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist der Grad der negativen Zahl −2 mit dem natürlichen Index 3, und der Ausdruck −2 3 (kann als - (2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, die dem Wert des Grads 2 3 entgegengesetzt ist.

Beachten Sie, dass es eine Notation für den Grad von a mit dem Index n der Form a ^ n gibt. Wenn n eine mehrwertige positive ganze Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Zum Beispiel ist 4 ^ 9 ein weiterer Eintrag von Grad 4 9. Hier sind einige weitere Beispiele für Aufzeichnungsgrade mit dem Symbol „^“: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Notation für den Grad der Form an.

Die obige Definition ermöglicht es, den Wert des Studiums anhand eines natürlichen Indikators zu ermitteln. Berechnen Sie dazu das Produkt aus n gleichen Faktoren gleich a. Dieses Thema verdient eine ausführliche Betrachtung in einem separaten Artikel - siehe Potenzierung mit einem natürlichen Indikator.

Eine der Aufgaben, die Umkehrung der Konstruktion mit einem natürlichen Indikator, ist das Problem, die Basis eines Grades anhand eines bekannten Wertes eines Grades und eines bekannten Indikators zu finden. Diese Aufgabe führt zum Konzept einer Wurzel aus einer Zahl.

Es lohnt sich auch, die Eigenschaften eines Grads mit einem natürlichen Index zu untersuchen, die sich aus dieser Definition des Grads und der Eigenschaften der Multiplikation ergeben.

Abschluss mit Ganzzahl

Nachdem wir den Grad von a mit einem natürlichen Index bestimmt haben, entsteht ein logischer Wunsch, den Gradbegriff zu erweitern und auf den Grad einer Zahl zu gehen, von der jede ganze Zahl, einschließlich Negativ und Null, ein Indikator sein wird. Dies sollte so erfolgen, dass alle Eigenschaften eines Grads mit einem natürlichen Index gültig bleiben, da natürliche Zahlen Teil von ganzen Zahlen sind.

Der Grad von a mit einer positiven ganzen Zahl ist nichts anderes als die Potenz von a mit einem natürlichen Exponenten:, wobei n eine positive ganze Zahl ist.

Nun definieren wir die Nullkraft von a. Gehen wir von der Eigenschaft der Teilmächte mit den gleichen Basen aus: Für die natürlichen Zahlen m und n ist m m: an = a m - n (die Bedingung a ≠ 0 ist notwendig, da wir sonst eine Division durch Null haben würden). Für m = n führt die geschriebene Gleichheit zu folgendem Ergebnis: an: a n = an n - n = a 0. Andererseits ist a n: a n = 1 als Quotient aus gleichen Zahlen a n und a n. Daher müssen wir eine 0 = 1 für jede reelle Zahl ungleich Null annehmen.

Aber was ist mit null bis null Grad? Der im vorigen Absatz verwendete Ansatz ist für diesen Fall nicht geeignet. Wir können die Eigenschaft des Produkts von Graden mit den gleichen Basen a m · a n = a m + n in Erinnerung rufen, insbesondere wenn n = 0 ist, gilt a m · a 0 = am (diese Gleichheit zeigt auch, dass a 0 = 1 ist). Für a = 0 erhalten wir jedoch die Gleichheit 0 m · 0 0 = 0 m, die als 0 = 0 umgeschrieben werden kann. Dies gilt für jedes natürliche m, unabhängig davon, welchem ​​Wert der Ausdruck 0 0 entspricht. Mit anderen Worten, 0 0 kann einer beliebigen Zahl entsprechen. Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, weisen wir der Potenz von Null keinen Sinn zu (aus denselben Gründen haben wir beim Studium der Division dem Ausdruck 0: 0 keine Bedeutung beigemessen).

Es ist leicht zu überprüfen, dass unsere Gleichheit a 0 = 1 für Nicht-Null-Zahlen a mit der Eigenschaft Grad zu Grad (a m) n = am m · n übereinstimmt. Für n = 0 haben wir nämlich (am) 0 = 1 und am0 = a 0 = 1, und für m = 0 haben wir (a 0) n = 1 n = 1 und a 0 · n = a 0 = 1.

Wir kamen also zur Definition eines Abschlusses mit einem Nullindikator. Der Grad eines Exponenten mit Null (eine reelle Zahl ungleich Null) ist Eins, d. H. Eine 0 = 1 für a ≠ 0.

Nennen wir Beispiele: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 und 0 0 ist nicht definiert.

Der Nullgrad der Zahl a wird bestimmt, es bleibt der ganzzahlige negative Grad der Zahl a zu bestimmen. Dies wird uns helfen, alle die gleiche Eigenschaft des Produkts von Graden mit den gleichen Basen a m · a n = a m + n zu haben. Wir nehmen m = −n, was die Bedingung a ≠ 0 voraussetzt, dann ist a −n · ann = a - n + n = a 0 = 1, woraus wir schließen, dass a n und a - n gegenseitig inverse Zahlen sind. Daher ist es logisch, die Zahl a bis zum ganzzahligen negativen Grad -n als Bruchzahl zu definieren. Es ist leicht nachzuweisen, dass bei einer solchen Aufgabe der Grad einer Nicht-Null-Zahl a mit einem ganzzahligen negativen Exponenten alle Eigenschaften eines Grads mit einem natürlichen Exponenten (siehe die Eigenschaften eines Exponenten mit einem ganzzahligen Exponenten) erfüllt, was wir anstrebten.

Lassen Sie uns die Definition eines Abschlusses mit einem ganzen negativen Index klingen. Der Grad von a mit einer negativen ganzen Zahl - n (eine reelle Zahl ungleich Null) ist ein Bruch, d. H. Mit a ≠ 0 und einer positiven ganzen Zahl n.

Betrachten Sie diese Definition eines Abschlusses mit einer negativen Ganzzahl an bestimmten Beispielen:

Fassen Sie die Informationen zu diesem Artikel zusammen.

Der Grad von a mit einer ganzen Zahl z ist definiert als:

Abschluss mit einem rationalen Indikator

Bei ganzzahligen Exponenten der Zahl a liegt der Übergang zu einem rationalen Indikator nahe. Im Folgenden definieren wir einen Grad mit einem rationalen Indikator, und wir werden es so tun, dass alle Eigenschaften des Grads mit dem gesamten Indikator erhalten bleiben. Dies ist notwendig, da Ganzzahlen Teil rationaler Zahlen sind.

Es ist bekannt, dass der Satz rationaler Zahlen aus ganzen Zahlen und Bruchzahlen besteht, und jede Bruchzahl kann als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Wir haben den Grad mit dem ganzzahligen Exponenten im vorherigen Absatz definiert. Um die Definition des Exponenten mit dem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir dem Grad von a mit dem fraktionellen Exponenten m / n eine Bedeutung geben, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche ist. Lass es uns tun.

Betrachten Sie einen Abschluss mit einem gebrochenen Exponenten. Um die Macht der Immobilie bis zu einem gewissen Grad zu erhalten, muss Gleichheit erfüllt sein. Wenn wir die erhaltene Gleichheit berücksichtigen und wie wir die Wurzel des n-ten Grades bestimmt haben, ist es logisch zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass für gegebene m, n und a der Ausdruck Sinn ergibt.

Es kann leicht überprüft werden, ob alle Eigenschaften eines Grads mit einem ganzzahligen Indikator gültig sind (dies geschieht im Abschnitt über Eigenschaften eines Grads mit einem rationalen Indikator).

Die obigen Überlegungen erlauben uns folgende Schlussfolgerung: Wenn für gegebene m, n und a der Ausdruck Sinn ergibt, dann ist der Grad von a mit einem gebrochenen Index m / n die Wurzel des n-ten Grads von a bis Grad m.

Diese Aussage bringt uns näher zur Definition eines Grads mit einem fraktionellen Exponenten. Es bleibt nur noch zu schreiben, wofür m, n und a Sinn machen. Abhängig von den Beschränkungen für m, n und a gibt es zwei grundlegende Ansätze.

Es ist am einfachsten, a eine Beschränkung aufzuerlegen, wobei a ≥ 0 für positives m und a> 0 für negatives m gilt (da für m ≤ 0 der Grad 0 m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grads mit einem fraktionellen Exponenten.

Der Grad einer positiven Zahl a mit einem gebrochenen Index m / n, wobei m eine ganze Zahl ist und n eine positive ganze Zahl ist, wird als die n-te Wurzel von a mit der Potenz von m bezeichnet, d.h.

Der Bruchgrad Null wird auch mit der einzigen Einschränkung bestimmt, dass der Indikator positiv sein sollte.

Der Grad von Null mit einem gebrochenen positiven Index m / n, wobei m eine positive ganze Zahl ist und n eine positive ganze Zahl ist, ist definiert als.
Wenn der Grad nicht bestimmt wird, ist der Grad der Zahl Null mit einem fraktionellen negativen Indikator nicht sinnvoll.

Es sei darauf hingewiesen, dass bei einer solchen Definition eines Grads mit einem fraktionellen Exponenten eine Nuance vorliegt: Für ein negatives a und ein paar m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingegeben haben. Zum Beispiel macht es Sinn, oder zu schreiben, und die obige Definition lässt sagen, dass Grade mit einem gebrochenen Index einer Art keinen Sinn machen, da die Basis nicht negativ sein sollte.

Ein anderer Ansatz zum Bestimmen eines Grades mit einem gebrochenen m / n ist die getrennte Betrachtung von geraden und ungeraden Wurzelindizes. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Der Grad der Zahl a, dessen Indikator eine reduzierte Fraktion ist, wird als Grad der Zahl a betrachtet, deren Indikator der entsprechende nicht reduzierbare Bruchteil ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung unten erklären). Das heißt, wenn m / n eine nicht reduzierbare Fraktion ist, dann wird für jede natürliche Zahl k der Grad durch ersetzt.

Für gerade n und positives m ist der Ausdruck für jedes nicht negative a sinnvoll (die gerade Wurzel einer negativen Zahl ist nicht sinnvoll), für negatives m muss die Zahl a auch nicht Null sein (ansonsten durch Null dividieren). Für ungeradzahliges n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades wird für jede reelle Zahl bestimmt), und für negatives m muss die Zahl a ungleich Null sein (damit keine Division durch Null erfolgt).

Die obigen Überlegungen führen uns zu einer solchen Definition eines Grades mit einem fraktionellen Exponenten.

Sei m / n ein nicht reduzierbarer Bruchteil, m eine ganze Zahl und n eine positive ganze Zahl. Für jede reduzierbare Fraktion wird der Grad durch ersetzt. Der Grad von a mit irreduziblem Fraktionalexponent m / n ist z

• jede reelle Zahl a, eine positive ganze Zahl m und eine ungerade positive ganze Zahl n, zum Beispiel;
• jede reelle Zahl a von Null, ein ganzes negatives m und ein ungeradzahliges n, zum Beispiel;
• jede nicht negative Zahl a, eine ganze Zahl, die positiv m und sogar n ist, z.
• jedes positive a, eine ganze Zahl von negativem m und sogar n;
• In anderen Fällen ist der Grad mit einem fraktionellen Exponenten nicht definiert. Beispielsweise sind die Grade nicht definiert.

Wir erklären, warum ein Grad mit einem annullierbaren fraktionellen Exponenten vorläufig durch einen Exponenten mit einem nicht reduzierbaren Exponenten ersetzt wird. Wenn wir einfach den Grad als definieren und keine Vorbehalte gegen die Irreduzibilität des Bruchteils m / n machen, würden wir mit Situationen wie den folgenden konfrontiert sein: Da 6/10 = 3/5, muss Gleichheit gelten, aber a.

Beachten Sie, dass die erste Definition eines Abschnitts mit einem gebrochenen Index einfacher zu verwenden ist als die zweite. Deshalb werden wir es in Zukunft einsetzen.

Als Grad einer positiven Zahl a mit einem gebrochenen Index m / n definieren wir, dass wir für negative a-Datensätze keine Bedeutung beifügen, der Grad der Zahl Null wird für positive gebrochene Indikatoren m / n bestimmt, da für negative gebrochene Indikatoren der Grad der Zahl Null nicht bestimmt wird.

Abschließend weisen wir darauf hin, dass der fraktionelle Exponent beispielsweise in Form eines Dezimalbruchs oder einer gemischten Zahl geschrieben werden kann. Um die Werte von Ausdrücken dieses Typs zu berechnen, müssen Sie den Exponenten in Form eines gewöhnlichen Bruchs schreiben und dann die Definition eines Grads mit einem fraktionellen Exponenten verwenden. Für die angegebenen Beispiele haben wir und.

Abschluss mit einem irrationalen und gültigen Indikator

Es ist bekannt, dass die Menge der reellen Zahlen als Vereinigung der Mengen rationaler und irrationaler Zahlen betrachtet werden kann. Daher kann ein Grad mit einem gültigen Indikator als definiert betrachtet werden, wenn ein Grad mit einem rationalen Indikator und ein Grad mit einem irrationalen Indikator bestimmt werden. Wir haben im vorigen Abschnitt mit einem rationalen Indikator über den Abschluss gesprochen, es bleibt jedoch ein irrationaler Indikator.

Das Konzept des Grads von a mit einem irrationalen Index wird schrittweise angegangen.

Sei eine Folge von Dezimalapproximationen einer irrationalen Zahl. Nehmen Sie zum Beispiel eine irrationale Zahl, dann können Sie akzeptieren oder usw. Es ist erwähnenswert, dass die Zahlen rational sind.

Die Folge von rationalen Zahlen entspricht einer Folge von Graden, und wir können die Werte dieser Grade auf der Grundlage des Materials des Artikels berechnen, das zu einem rationalen Grad ansteigt. Nehmen wir zum Beispiel a = 3 und dann, und nachdem wir uns zu einer Macht erhoben haben, erhalten wir.

Schließlich konvergiert die Sequenz zu einer bestimmten Zahl, die dem Wert der Potenz von a mit einem irrationalen Exponenten entspricht. Kehren wir zu unserem Beispiel zurück: Ein Grad mit einem irrationalen Indikator der Form konvergiert mit einer Genauigkeit von einem Hundertstel auf eine Zahl von 6,27.

Der Grad einer positiven Zahl a mit einem irrationalen Index ist ein Ausdruck, dessen Wert gleich der Grenze der Sequenz ist, wobei aufeinander folgende dezimale Näherungen der irrationalen Zahl sind.

Damit wird für positive irrationale Indikatoren der Grad der Zahl Null bestimmt. Zum Beispiel. Und der Grad der Zahl 0 mit einem negativen irrationalen Indikator wird nicht bestimmt, beispielsweise nicht definiert.

Unabhängig davon muss man über den irrationalen Grad der Einheit sagen - die Einheit ist in jedem irrationalen Grad gleich 1. Zum Beispiel und.

Wurzeln und Grade

Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form :, wobei:

• - die Grundlage des Studiums;
• - Exponent.

Abschluss mit einem natürlichen Indikator

Wir definieren das Konzept eines Grads, dessen Index eine natürliche Zahl ist (dh eine ganze Zahl und eine positive Zahl).

1. Per Definition :.
2. Eine Zahl zu quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
3. Eine Zahl in einen Würfel einbauen bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren :.

Das Erhöhen einer Zahl auf den natürlichen Grad bedeutet, die Zahl wieder mit sich selbst zu multiplizieren:

Abschluss mit Ganzzahl

Wenn der Exponent eine positive ganze Zahl ist:

, n> 0

Erhebung auf null Grad:

, a ≠ 0

Wenn der Exponent eine negative ganze Zahl ist:

, a ≠ 0

Hinweis: Der Ausdruck ist nicht definiert, in dem Fall n ≤ 0. Wenn n> 0 ist, dann

Abschluss mit einem rationalen Indikator

• a> 0;
• n ist eine natürliche Zahl;
• m ist eine ganze Zahl;

Eigenschaften der Grade

Wurzel

Arithmetische Quadratwurzel

Die Gleichung hat zwei Lösungen: x = 2 und x = -2. Dies sind Zahlen, deren Quadrat 4 ist.

Betrachten Sie die Gleichung. Lassen Sie uns ein Diagramm der Funktion zeichnen und sehen, dass diese Gleichung auch zwei Lösungen hat, eine positive und eine negative.

In diesem Fall sind die Lösungen jedoch keine ganzen Zahlen. Darüber hinaus sind sie nicht rational. Um diese irrationalen Entscheidungen niederzuschreiben, führen wir einen speziellen Quadratwurzelcharakter ein.

Die arithmetische Quadratwurzel ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat a ≥ 0 ist. Wenn a

Der Grad und seine Eigenschaften. Gradbestimmung

Abschnitte: Mathematik

Die Studierenden mit den Eigenschaften von Abschlüssen mit natürlichen Indikatoren vertraut machen und lernen, wie sie mit Abschlüssen arbeiten.

Das Thema „Der Abschluss und seine Eigenschaften“ umfasst drei Fragen:

• Bestimmung des Abschlusses mit einem natürlichen Indikator.
• Multiplikation und Gewaltenteilung.
• Anhebung des Grads des Produkts und des Grades.

Formulieren Sie eine Definition für einen Grad mit einem natürlichen Index größer als 1. Geben Sie ein Beispiel an.

Formulieren Sie die Definition eines Abschlusses mit dem Indikator 1. Geben Sie ein Beispiel an.

Wie ist die Reihenfolge der Aktionen, wenn der Wert eines Ausdrucks berechnet wird, der einen Abschluss enthält?

Formulieren Sie die grundlegende Eigenschaft eines Abschlusses. Nennen Sie ein Beispiel.

Formulieren Sie die Regel der Graduierung mit den gleichen Grundlagen. Nennen Sie ein Beispiel.

Formulieren Sie die Regel der Gradeinteilung mit den gleichen Grundlagen. Nennen Sie ein Beispiel.

Formulieren Sie eine Regel für den Arbeitsgrad. Nennen Sie ein Beispiel. Beweisen Sie die Identität (ab) n = a n • b n.

Formulieren Sie eine Potenzierungsregel. Nennen Sie ein Beispiel. Beweisen Sie die Identität (am) n = amn.

Der Grad von a mit einem natürlichen Index n größer als 1 ist das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Der Grad von a mit dem Index 1 ist die Zahl a selbst.

Der Grad mit der Basis a und dem Index n wird wie folgt geschrieben: a n. Lesen Sie "a to the power of n"; "N-te Kraft von a".

Per Definition ein Abschluss:

Das Finden eines Gradwerts wird als Potenzierung bezeichnet.

1. Beispiele für die Potenzierung

0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0

(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125

2. Stellen Sie sich eine quadratische Zahl vor: 25; 0,09;

25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.

3. Geben Sie die Zahlen in Form eines Würfels an:

27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.

4. Finden Sie die Werte von Ausdrücken:

a) 3 • 10 3 = 3 • 10 • 10 • 10 = 3 • 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

1. Schreibe die Arbeit als Abschluss:

c) b • b • b • b • b • b • b

d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)

d) (ab) • (ab) • (ab)

2. Vorhanden in Form einer quadratischen Zahl:

3. Geben Sie die Zahlen in Form eines Würfels an:

4. Finden Sie die Werte von Ausdrücken:

Für eine beliebige Zahl a und beliebige Zahlen m und n:

a m a n = am + n.

Regel: Beim Multiplizieren von Graden mit denselben Basen bleiben die Basen unverändert und die Exponenten werden addiert.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = am + n + k

1. Anwesend als Abschluss:

a) x 5 · x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y · y 6 = y 1 · y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6

d) 0,01 · 0,1 3 = 0,1 2 · 0,1 3 = 0,1 5

2. Stellen Sie sich als Abschluss vor und finden Sie den Wert in der Tabelle:

a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 · 3 5 = 3 7 = 2187

1. Anwesend als Abschluss:

a) x 3 · x 4 e) x 2 · x 3 · x 4

b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9

c) 4 • c) 7 4 • 49

d) a • a 8 i) 16 • 2 7

e) 2 3 · 2 4 k) 0,3 3 · 0,09

2. Stellen Sie sich als Abschluss vor und finden Sie den Wert in der Tabelle:

a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5

b) 3 4 • 3 2 g) 27 • 243

Für eine beliebige Zahl a 0 und beliebige positive ganze Zahlen m und n, so dass m> n wahr ist:

a m: a n = a m - n

a m - n a n = a (m - n) + n = am - n + n = am

per definitionem privat:

a m: a n = a m - n.

Regel: Wenn Sie Grad mit den gleichen Basen teilen, bleibt die Basis gleich und der Divisor-Grad wird vom Exponenten abgezogen.

Definition: Der Grad von ungleich Null, wobei der Exponent Null gleich Eins ist:

Zahlen Der Grad der Anzahl.

Es ist eine bekannte Tatsache, dass die Summe mehrerer gleicher Komponenten durch Multiplikation ermittelt werden kann. Zum Beispiel: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Ein solcher Ausdruck ist die Summe der gleichen Komponenten, die in ein Produkt umgewandelt werden. Und umgekehrt, wenn wir diese Gleichheit von rechts nach links lesen, erhalten wir, dass wir die Summe der gleichen Terme erweitert haben. In ähnlicher Weise kann man das Produkt mehrerer gleicher Faktoren 5x5x5x5x5x5 = 5 6 zusammenfalten.

Anstatt sechs identische Faktoren von 5x5x5x5x5x5 zu multiplizieren, schreiben sie 5 6 und sagen "fünf bis sechster Grad".

Der Ausdruck 5 6 ist die Potenz der Zahl, wobei:

5 - die Basis des Studiums;

6 - Exponent.

Die Aktionen, durch die das Produkt gleicher Faktoren zu einer Potenz minimiert wird, werden Potenzierung genannt.

Im Allgemeinen wird der Grad mit der Basis "a" und dem Index "n" als geschrieben

Die Zahl a auf die Potenz von n zu erhöhen, bedeutet, das Produkt aus n Faktoren zu finden, von denen jeder a ist

Wenn die Basis des Grades "a" 1 ist, dann ist der Grad des Grades für ein beliebiges natürliches n 1. Zum Beispiel 1 5 = 1, 1 256 = 1

Wenn wir die Zahl "a" bis zum ersten Grad erhöhen, erhalten wir die Zahl a selbst: a 1 = a

Wenn wir eine beliebige Zahl auf den Nullgrad erhöhen, erhalten wir als Ergebnis der Berechnungen eine. a 0 = 1

Berücksichtigen Sie insbesondere die Nummer zwei und drei. Für sie kam der Name: der zweite Grad wird das Quadrat der Zahl genannt, der dritte - der Würfel dieser Zahl.

Jede Zahl kann zu einer Potenz erhöht werden - positiv, negativ oder null. Es verwendet nicht die folgenden Regeln:

-Indem der Grad einer positiven Zahl ermittelt wird, wird eine positive Zahl erhalten.

-Wenn wir im natürlichen Grad Null berechnen, erhalten wir Null.

- Bei der Berechnung des Grades einer negativen Zahl kann das Ergebnis sowohl eine positive als auch eine negative Zahl sein. Es hängt davon ab, ob der Exponent ungerade oder ungerade ist.

Wenn wir einige Beispiele zur Berechnung des Grades der negativen Zahlen lösen, stellt sich heraus, dass, wenn wir einen ungeraden Grad einer negativen Zahl berechnen, das Ergebnis eine Zahl mit einem Minuszeichen ist. Da wir beim Multiplizieren der ungeraden Anzahl negativer Faktoren einen negativen Wert erhalten.

Wenn wir für eine negative Zahl einen geraden Grad berechnen, ist das Ergebnis eine positive Zahl. Denn wenn wir eine gerade Anzahl negativer Faktoren multiplizieren, erhalten wir einen positiven Wert.

Eigenschaftsgrad mit einem natürlichen Indikator.

Um die Stufen mit den gleichen Basen zu multiplizieren, ändern wir die Basen nicht und fügen die Exponenten der Stufen hinzu:

zum Beispiel: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7+ (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Um die Stufen mit den gleichen Basen zu trennen, ändern wir die Basis nicht, sondern subtrahieren die Exponenten:

zum Beispiel: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Bei der Berechnung der Grad-Exponentiation ändern wir nicht die Basis und multiplizieren die Exponenten der Grade.

zum Beispiel: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

Wenn es erforderlich ist, die Erektion auf den Produktgrad zu berechnen, wird jeder Faktor auf diesen Grad angehoben.

zum Beispiel: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,

Bei Berechnungen zur Konstruktion eines Bruchs erhöhen wir den Zähler und Nenner des Bruchs auf diese Potenz.

zum Beispiel: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Die Reihenfolge der Berechnungen beim Arbeiten mit Ausdrücken, die einen Abschluss enthalten.

Bei der Durchführung von Berechnungen führen Ausdrücke ohne Klammern, die jedoch Grade enthalten, zunächst eine Potenzierung durch, multiplizieren und teilen dann die Aktionen und fügen dann nur die Operationen hinzu und entfernen sie.

Wenn ein Ausdruck mit Klammern berechnet werden muss, führen wir zunächst in der oben angegebenen Reihenfolge Berechnungen in Klammern durch und dann die restlichen Aktionen in derselben Reihenfolge von links nach rechts.

In praktischen Berechnungen zur Vereinfachung von Berechnungen werden sehr häufig fertige Gradtabellen verwendet.

Erklären Sie, wie Sie die Leistung einer Zahl ermitteln können

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19kot

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Nadirka212

Am sinnvollsten ist es, eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, dann können Sie sowohl den Basis- als auch den Exponenten finden.
Wenn die Basis bekannt ist, kann der Indikator durch Logarithmus ermittelt werden, z.
2 ^ x = 8
Um x zu finden, müssen Sie beide Teile der Basis 2 zählen
x = log in base 2 von 8 = ln 8 / ln 2 (kann auf dem Rechner berechnet werden) = 3
Wenn der Indikator bekannt ist, wird die Basis durch Extrahieren der Wurzel ermittelt, z.
x ^ 3 = 8
extrahieren Sie die kubische Wurzel aus beiden Teilen
x = kubische Wurzel von 8 = 2

Wenn keiner der beiden die eine oder andere kennt, eine Zahl in einfache Faktoren zerlegen, geschieht dies durch sukzessive Unterteilung der Zahl in Primfaktoren.
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 ist nicht teilbar durch 2, durch 3, durch 5 (iteriert über Primzahlen)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Insgesamt haben wir also 8 mal 2 und 7 4 mal geteilt
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Wenn wir eine Darstellung in der Form a ^ b mit natürlichem a und b und b finden wollen, muss maximal sein, dann müssen wir als b die GCD der in der Zerlegung erhaltenen Grade in Primfaktoren nehmen, d 4
Die Basis von Grad a wird 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28 sein

Der Grad und seine Eigenschaften. Die anfängliche Ebene.

Der Grad ist ein Ausdruck der Form :, wobei:

Abschluss mit Ganzzahl

Der Grad davon ist eine natürliche Zahl (d. h. eine ganze Zahl und eine positive Zahl).

Abschluss mit einem rationalen Indikator

der Grad davon ist negative und gebrochene Zahlen.

Abschluss mit einem irrationalen Exponenten

Grad, dessen Exponent eine unendliche Dezimalfraktion oder Wurzel ist.

Eigenschaften der Grade

Merkmale der Grade.

• Eine zu einer geraden Potenz erhöhte negative Zahl ist eine positive Zahl.
• Eine negative Zahl, die zu einer ungeraden Potenz angehoben wird, ist eine negative Zahl.
• Eine positive Zahl ist zu jedem Grad eine positive Zahl.
• Null ist gleich einem beliebigen Grad.
• Jede Zahl ist null Grad.

Was ist die Macht der Zahl?

Die Potenzierung ist dieselbe mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Nun werde ich alles in sehr einfachen Beispielen in menschlicher Sprache erklären. Seien Sie aufmerksam. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit dem Zusatz.

Hier gibt es nichts zu erklären. Sie wissen schon alles: Wir sind zu acht. Jede hat zwei Flaschen Cola. Wie viel kostet Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt multiplizieren.

Dasselbe Beispiel mit Coke kann anders geschrieben werden: Mathematiker sind listige und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und dann eine Möglichkeit, sie schnell zu "zählen". In unserem Fall bemerkten sie, dass jeder von acht Personen die gleiche Anzahl von Colaflaschen hatte und ein Gerät namens Multiplikation entwickelte. Zugegeben, es gilt als einfacher und schneller als.

Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.
Um schneller, einfacher und fehlerfreier zu zählen, müssen Sie sich nur die Multiplikationstabelle merken. Natürlich können Sie alles langsamer, schwieriger und mit Fehlern erledigen! Aber...

Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.

Und noch eine schönere:

Welche anderen cleveren Tricks wurden von faulen Mathematikern erfunden? Richtig - die Einführung der Zahl im Abschluss.

Eine Zahl zu einer Macht erhöhen.

Wenn Sie die Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen die Mathematiker, dass Sie diese Zahl bis zum fünften Grad aufbauen müssen. Zum Beispiel. Mathematiker erinnern sich daran, dass zwei im fünften Grad dies sind. Und lösen Sie solche Rätsel im Hinterkopf - schneller, einfacher und fehlerfreier.

Denken Sie dazu daran, was in der Tabelle der Zahlengrade farblich hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, das wird Ihnen das Leben erleichtern.

Warum heißt der zweite Grad übrigens das Quadrat einer Zahl und der dritte - der Würfel? Was bedeutet das? Sehr gute Frage Jetzt haben Sie Quadrate und Würfel.

Ein Beispiel aus dem Leben von №1.

Beginnen wir mit einem Quadrat oder einer zweiten Gradzahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrer Datscha. Hitze und wirklich schwimmen wollen. Aber... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden der Poolfliesen zu legen. Wie viele Fliesen brauchst du? Um dies festzustellen, müssen Sie den Bereich des Poolbodens kennen.

Sie können einfach mit einem Finger sagen, dass der Boden des Beckens aus Meterwürfeln pro Meter besteht. Wenn Sie einen Meter für Meter haben, benötigen Sie Stücke. Es ist einfach... Aber wo hast du so ein Plättchen gesehen? Die Fliese sieht wahrscheinlich mehr cm und dann werden Sie vom "Finger" gequält. Dann musst du dich vermehren. So werden auf einer Seite des Poolbodens Fliesen und auf der anderen auch Fliesen angebracht. Multipliziert mit, erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie festgestellt, dass wir zur Ermittlung der Bodenfläche des Pools dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben? Was bedeutet das? Sobald die gleiche Zahl multipliziert wurde, können wir die Technik der "Exponentiation" verwenden. (Natürlich, wenn Sie nur zwei Zahlen haben, multiplizieren Sie sie immer noch oder erhöhen sie zu einer Potenz. Wenn Sie jedoch viele davon haben, ist es viel einfacher, sie zu einer Potenz zu erhöhen und die Berechnungsfehler sind ebenfalls geringer. Für die Unified State Exam ist dies sehr wichtig.)
Also wird der zweite Grad dreißig sein (). Oder man kann sagen, dass dreißig Quadratmeter sein werden. Mit anderen Worten, der zweite Grad einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Wenn Sie dagegen ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer bestimmten Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild einer Zahl zweiten Grades.

Ein Beispiel aus dem Leben von №2.

Hier ist eine Aufgabe für Sie: Berechnen Sie mithilfe eines Quadrats einer Zahl, wie viele Felder auf einem Schachbrett vorhanden sind. Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Zahl zu berechnen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht in ein Quadrat integrieren. Holen Sie sich eine Zelle. () Also?

Ein Beispiel aus dem Leben von Nummer 3.

Nun der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Gleicher Pool Aber jetzt müssen Sie wissen, wie viel Wasser Sie in diesen Pool füllen müssen. Sie müssen das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, richtig?) Zeichnen Sie einen Pool: Der Boden ist 1 Meter groß und 1 Meter tief. Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Würfel in Meter zu Meter in Ihren Pool gelangen.

Zeig den Finger und zähle! Eins, zwei, drei, vier... zweiundzwanzig, dreiundzwanzig... Wie viel ist das passiert? Nicht raus Ist es schwer mit einem Finger zu zählen? Das ist es Nehmen Sie das Beispiel der Mathematiker. Sie sind faul, so dass sie bemerkten, dass es zur Berechnung des Beckenvolumens notwendig ist, Länge, Breite und Höhe zu multiplizieren. In unserem Fall entspricht das Beckenvolumen den Würfeln. Ist es einfacher, richtig?

Und jetzt stellen Sie sich vor, wie Mathematiker faul und listig sind, wenn sie es auch vereinfachen würden. Alles zu einer einzigen Aktion gebracht. Sie stellten fest, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Grad verwenden können. Was Sie einst als Finger gezählt haben, tun sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel sind gleich. Es ist so geschrieben:

Es bleibt nur noch, sich an die Gradtabelle zu erinnern. Wenn Sie natürlich so faul und listig sind wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endgültig davon zu überzeugen, dass die Abschlüsse von Betrügern und Betrügern erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen, und nicht, um Probleme für Sie zu schaffen, hier ein paar weitere Beispiele aus dem Leben.

Ein Beispiel aus dem Leben von №4.

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie mit jeder Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen zu Beginn eines jeden Jahres wird verdoppelt. Wie viel Geld hast du in Jahren? Wenn Sie sitzen und "einen Finger zählen", dann sind Sie eine sehr fleißige Person und... dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in wenigen Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei... im zweiten Jahr - was bei zwei weiteren im dritten Jahr passiert ist... Stop! Sie haben festgestellt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Also zwei bis zum fünften Grad - eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie hätten ein Gewinnspiel, und diejenigen, die die Millionen erhalten, werden schneller rechnen können. Es lohnt sich, sich an den Grad der Zahlen zu erinnern, wie denken Sie?

Ein Beispiel aus der Lebensnummer 5.

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie jede zweite Million. Wow, wirklich? Jede Million Tripel. Wie viel Geld hast du in einem Jahr? Lass uns zählen. Das erste Jahr ist mit zu multiplizieren, dann ist das Ergebnis immer noch von... Es ist schon langweilig, weil Sie alles bereits verstanden haben: dreimal multipliziert es mit sich selbst. Also im vierten Grad entspricht eine Million. Man muss nur daran denken, dass drei zum vierten Grad oder sind.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben durch die Erhöhung einer Zahl zu einer Macht erheblich erleichtern werden. Schauen wir uns weiter an, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte.

Beginnen wir mit der Definition von Konzepten. Was denkst du ist der Exponent? Es ist sehr einfach - dies ist die Zahl, die "an der Spitze" der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber verständlich und leicht zu merken...

Was ist also gleichzeitig die Grundlage des Studiums? Noch einfacher ist die Zahl unten und unten.

Hier ist ein Bild für Ihre Treue.

Nun, im Allgemeinen, um es zusammenzufassen und besser zu erinnern... Der Grad mit der Basis " und dem Indikator " wird als "bis zu dem Grad" gelesen und wie folgt geschrieben:

Warum sagen Sie "der Grad der Zahlen mit einem natürlichen Indikator"?

"Der Grad der Zahlen mit einem natürlichen Indikator"

Sie haben wahrscheinlich schon geraten: weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist eine natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die im Konto verwendet werden, wenn Elemente aufgeführt werden: Eins, Zwei, Drei... Wenn wir Elemente zählen, sagen wir nicht: "minus fünf", "minus sechs", "minus sieben". Wir sagen auch nicht: "ein Drittel" oder "Nullpunkt, fünf Zehntel". Dies sind keine natürlichen Zahlen. Und wie lauten diese Zahlen?

Zahlen wie "minus fünf", "minus sechs", "minus sieben" beziehen sich auf ganze Zahlen. Ganzzahlige Zahlen umfassen im Allgemeinen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen gegenüberliegen (d. H. Mit einem Minuszeichen), und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - dann gibt es nichts. Und was bedeuten negative ("negative") Zahlen? Sie wurden jedoch vor allem für die Bestimmung von Schulden erfunden: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel am Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Bruchteile jeglicher Art sind rationale Zahlen. Wie sind sie dazu gekommen, was denkst du? Sehr einfach. Vor Tausenden von Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass es ihnen an natürlichen Zahlen fehlt, um Länge, Gewicht, Fläche usw. zu messen. Und sie hatten rationale Zahlen... Interessant, richtig?

Es gibt immer noch irrationale Zahlen. Was sind diese Zahlen? Kurz gesagt, unendlich viele Dezimalstellen. Wenn der Umfang beispielsweise durch seinen Durchmesser geteilt wird, erhält man eine irrationale Zahl.

Zusammenfassend:

• Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen verwendet werden, dh usw.
• Ganzzahl - alle natürlichen Zahlen, natürliche Zahlen mit einem Minuszeichen und die Zahl 0.
• Bruchzahlen gelten als rational.
• Irrationale Zahlen sind unendlich viele Dezimalzahlen

Abschluss mit einem natürlichen Indikator

Definieren wir den Begriff eines Grads, dessen Index eine natürliche Zahl ist (dh ein Ganzes und ein Positives).

1. Jede Zahl im ersten Grad ist sich selbst gleich:
2. Eine Zahl zu quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
3. Eine Zahl in einen Würfel einbauen bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition Das Erhöhen einer Zahl auf den natürlichen Grad bedeutet, die Zahl wieder mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Zahlenzahl: Definitionen, Bezeichnung, Beispiele

Im Rahmen dieses Materials analysieren wir den Grad der Anzahl. Neben den grundlegenden Definitionen formulieren wir einen Grad mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Indikatoren. Wie immer werden alle Konzepte anhand von Aufgabenbeispielen veranschaulicht.

Abschlüsse mit natürlichen Exponenten: das Konzept eines Quadrats und eines Würfels einer Zahl

Zunächst formulieren wir eine grundlegende Definition eines Abschlusses mit einem natürlichen Index. Dazu müssen wir uns an die Grundregeln der Multiplikation erinnern. Lassen Sie uns im Voraus klären, dass wir als Basis vorerst eine reelle Zahl (mit dem Buchstaben a bezeichnet) und als Indikator eine natürliche Zahl (mit dem Buchstaben n bezeichnet) verwenden werden.

Der Grad von a mit einem natürlichen Index n ist das Produkt der n-ten Anzahl von Faktoren, von denen jeder gleich der Anzahl a ist. Der Grad wird wie folgt geschrieben: a n und in Form einer Formel kann ihre Zusammensetzung wie folgt dargestellt werden:

Wenn der Exponent beispielsweise 1 ist und die Basis a ist, wird die erste Potenz von a als 1 geschrieben. Wenn man bedenkt, dass a der Wert eines Multiplikators ist und 1 die Anzahl der Multiplikatoren ist, können wir schließen, dass a 1 = a ist.

Im Allgemeinen kann gesagt werden, dass der Grad eine bequeme Form der Aufzeichnung einer großen Anzahl von gleichen Faktoren ist. Somit kann die Aufzeichnungsart 8 · 8 · 8 · 8 auf 8 4 reduziert werden. Ungefähr dieselbe Arbeit hilft uns zu vermeiden, eine große Anzahl von Begriffen zu schreiben (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Wir haben dies bereits in einem Artikel analysiert, der sich mit der Multiplikation natürlicher Zahlen befasst.

Wie liest man die Aufzeichnung des Studiums? Die allgemein akzeptierte Option ist "a to the power of n". Oder Sie können "n-ten Grad a" oder "n-ten Grad" sagen. Wenn wir in dem Beispiel, dem wir die Aufzeichnung getroffen haben, 8, 12 sagen, können wir "8 bis 12 Grad", "8 bis 12 Grad" oder "12 Grad bis 8 Grad" lesen.

Die Nummern zweiter und dritter Stufe haben ihre festen Namen: Quadrat und Würfel. Wenn wir einen zweiten Grad sehen, zum Beispiel die Zahl 7 (7 2), dann können wir "7 Quadrat" oder "Quadrat der Zahl 7" sagen. In ähnlicher Weise lautet der dritte Grad wie folgt: 5 3 ist der "Würfel der Zahl 5" oder "5 im Würfel". Es ist jedoch auch möglich, den Standardwortlaut "im zweiten / dritten Grad" zu verwenden, es ist kein Fehler.

Betrachten wir ein Beispiel für einen Abschluss mit einem natürlichen Indikator: Für 5 7 sind die fünf die Basis und die sieben der Indikator.

Die Basis muss keine ganze Zahl sein: Für den Grad (4, 32) 9 ist die Basis ein Bruch von 4, 32 und der Indikator ist neun. Achten Sie auf die Klammern: Eine solche Eingabe wird für alle Grade vorgenommen, deren Basis sich von den natürlichen Zahlen unterscheidet.

Zum Beispiel: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.

Was sind die Klammern? Sie helfen, Berechnungsfehler zu vermeiden. Nehmen wir an, wir haben zwei Einträge: (- 2) 3 und - 2 3. Die erste davon bedeutet eine negative Zahl minus zwei, die zu einer Potenz mit einem natürlichen Index von drei erhoben wird. die zweite ist die Zahl, die dem entgegengesetzten Wert von Grad 2 3 entspricht.

In Büchern kann man manchmal eine etwas andere Schreibweise der Potenz einer Zahl feststellen - a ^ n (wobei a die Basis und n der Indikator ist). Das heißt, 4 ^ 9 ist das gleiche wie 4 9. Wenn n eine mehrwertige Zahl ist, wird dies in Klammern angegeben. Zum Beispiel 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Wir werden aber die Notation a n als gebräuchlicher verwenden.

Wie man einen Wert mit einem natürlichen Index berechnet, lässt sich aus seiner Definition leicht abschätzen: Man muss nur n-mal multiplizieren. Mehr dazu haben wir in einem anderen Artikel geschrieben.

Der Begriff des Studiums ist das Gegenteil eines anderen mathematischen Begriffs - der Wurzel einer Zahl. Wenn wir den Wert des Grades und des Exponenten kennen, können wir dessen Basis berechnen. Der Grad hat einige spezifische Eigenschaften, die nützlich sind, um Probleme zu lösen, die wir in einem separaten Material zerlegt haben.

Was ist ein Abschluss mit einem ganzen Indikator

In Grad kann es nicht nur natürliche Zahlen geben, sondern im Allgemeinen alle ganzzahligen Werte, einschließlich negativer Einsen und Nullen, da diese ebenfalls zur Menge der ganzen Zahlen gehören.

Der Grad einer Zahl mit einer positiven Ganzzahl kann als Formel angezeigt werden :.

Darüber hinaus ist n eine positive ganze Zahl.

Wir werden das Konzept von null Grad verstehen. Um dies zu erreichen, verwenden wir einen Ansatz, der das Eigentum der jeweiligen Person für Kräfte mit gleicher Basis berücksichtigt. Es ist wie folgt formuliert:

Die Gleichheit a m: a n = a m - n ist unter den Bedingungen wahr: m und n sind natürliche Zahlen, m n, a ≠ 0.

Die letztgenannte Bedingung ist wichtig, weil dadurch eine Division durch Null vermieden wird. Wenn die Werte von m und n gleich sind, erhalten wir folgendes Ergebnis: a n: an = a n - n = a 0

Gleichzeitig ist a n: an = 1 der Quotient aus gleichen Zahlen an und a. Es stellt sich heraus, dass die Nullenergie einer beliebigen Zahl ungleich Null Eins ist.

Dieser Nachweis gilt jedoch nicht für null bis null Grad. Dafür brauchen wir eine andere Eigenschaft von Abschlüssen - eine Eigenschaft von Produkten von Abschlüssen mit gleichen Grundlagen. Es sieht so aus: a m · a n = a m + n.

Wenn n 0 ist, dann ist a m a 0 = a m (diese Gleichheit beweist uns auch, dass a 0 = 1 ist). Wenn aber auch gleich Null ist, hat unsere Gleichheit die Form 0 m · 0 0 = 0 m. Dies gilt für jeden natürlichen Wert von n, und es spielt keine Rolle, welchen Wert der Grad 0 0 hat, dh er kann einer beliebigen Zahl entsprechen und es wird die Treue der Gleichheit nicht beeinträchtigen. Daher hat ein Datensatz der Form 0 0 keine eigene Bedeutung, und wir werden ihn nicht zuordnen.

Falls gewünscht, kann leicht überprüft werden, dass a 0 = 1 mit der Eigenschaft Grad (am) n = amn ist, vorausgesetzt, die Basis des Grades ist nicht Null. Daher ist der Grad einer beliebigen Zahl ungleich Null mit dem Null-Exponenten Eins.

Betrachten wir ein Beispiel mit konkreten Zahlen: So ist 5 0 eine Einheit, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1 und der Wert 0 0 ist nicht definiert.

Nach dem Nullgrad müssen wir noch herausfinden, welcher Grad negativ ist. Dafür brauchen wir die gleiche Eigenschaft des Produkts von Graden mit gleichen Basen, die wir oben bereits verwendet haben: a m · a n = a m + n.

Wir führen die Bedingung ein: m = - n, dann sollte a nicht Null sein. Daraus folgt, dass a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Es stellt sich heraus, dass a n und a - n gegenseitig inverse Zahlen sind.

Folglich ist a im gesamten negativen Grad kein anderer als der Bruchteil 1 a n.

Eine solche Formulierung bestätigt, dass für einen Grad mit einem ganzen negativen Index alle Eigenschaften wie ein Grad mit einem natürlichen Index (vorausgesetzt, dass die Basis nicht Null ist) gültig sind.

Der Grad von a mit einer negativen ganzen Zahl n kann als Bruch 1 a n dargestellt werden. A - n = 1 an unter der Bedingung a ≠ 0 und n ist eine beliebige positive ganze Zahl.

Wir veranschaulichen unseren Gedanken anhand konkreter Beispiele:

3 - 2 = 1 3 2, (- 4, 2) - 5 = 1 (- 4, 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Im letzten Teil des Absatzes werden wir versuchen, alles klar und deutlich in einer Formel darzustellen:

Der Grad von a mit einem natürlichen Index z ist: az = az, e mit l und z ist die ganze Zahl von a l und z ist 0 und z = 0 und a ≠ 0, (p p p und z = 0 und a = 0 p o o o c s i 0 0, was a v o r a c io 0 0 ne bedeutet O p e f eld i s i) 1 az, e s c und z ist eine Zelle oder a c t a a l a a n o e h i s a l o a ≠ 0 ( e sl und z - ist die ganze Zahl der Reihe und a = 0 endlos mit i 0 z, ego ungefähr N achste P o d ia e c i)

Was ist ein rationaler Exponent?

Wir haben uns mit Fällen beschäftigt, in denen eine ganze Zahl im Exponenten enthalten ist. Es ist jedoch möglich, eine Zahl auf eine Potenz zu erhöhen, selbst wenn sich eine gebrochene Zahl in ihrem Index befindet. Dies wird als rationaler Exponent bezeichnet. An dieser Stelle beweisen wir, dass es dieselben Eigenschaften wie andere Grade hat.

Was sind rationale Zahlen? Ihr Satz enthält sowohl ganze als auch gebrochene Zahlen, während gebrochene Zahlen als normale Brüche (sowohl positive als auch negative) dargestellt werden können. Wir formulieren die Definition des Grades von a mit einem fraktionellen Exponenten m / n, wobei n eine positive ganze Zahl und m eine ganze Zahl ist.

Wir haben einen gewissen Grad mit einem gebrochenen Exponenten a m n. Damit die Eigenschaft von grad zu grad erhalten bleibt, muss die Gleichheit a m n n = a m n · n = a m wahr sein.

Unter Berücksichtigung der Definition der Wurzel von n-ten Grad und der Tatsache, dass mnn = am, können wir die Bedingung amn = amn annehmen, wenn amn bei gegebenen Werten von m, n und a Sinn macht.

Die obigen Eigenschaften des Grads mit einer ganzen Zahl sind unter der Bedingung a m n = a m n wahr.

Die wichtigste Schlussfolgerung aus unserer Überlegung lautet wie folgt: Der Grad einer bestimmten Zahl a mit einem fraktionellen Exponenten m / n ist die Wurzel des n-ten Grades von der Zahl a bis zum Grad m. Dies trifft zu, wenn für gegebene Werte von m, n und a der Ausdruck amn seine Bedeutung behält.

Als Nächstes müssen wir ermitteln, welche Art von Einschränkungen für die Werte von Variablen eine solche Bedingung auferlegt. Es gibt zwei Ansätze, um dieses Problem zu lösen.

1. Wir können den Wert der Basis des Grades begrenzen: Nehmen Sie a, das für positive Werte von m größer oder gleich 0 und für negative Werte streng kleiner ist (da für m ≤ 0 wir 0 m erhalten und dieser Grad nicht definiert ist). In diesem Fall wird der Grad mit einem gebrochenen Index wie folgt bestimmt:

Ein Grad mit einem fraktionellen Exponenten m / n für eine positive Zahl a ist die n-te Wurzel einer zur Potenz von m erhöhten. In Form einer Formel kann dies dargestellt werden als:

Für einen Abschluss mit einer Nullbasis ist diese Position auch geeignet, jedoch nur, wenn ihr Index eine positive Zahl ist.

Ein Grad mit einer Nullbasis und ein fraktionales positives m / n kann als ausgedrückt werden

0 m n = 0 m n = 0 unter der Bedingung eines ganz positiven m und eines natürlichen n.

Bei einem negativen Verhältnis mn 0 wird der Grad nicht bestimmt, d. H. Eine solche Aufzeichnung ist nicht sinnvoll.

Beachten Sie einen Punkt. Da wir die Bedingung eingeführt haben, dass a größer oder gleich null ist, haben wir einige Fälle fallen gelassen.

Der Ausdruck amn ist manchmal für einige negative Werte von a und einigen m noch sinnvoll. So sind die Einträge (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 korrekt, bei denen die Basis negativ ist.

2. Der zweite Ansatz ist die getrennte Betrachtung der Wurzel an mit geraden und ungeraden Indizes. Dann müssen wir eine weitere Bedingung einführen: Der Grad a, in dessen Index die reduzierte Fraktion wert ist, wird als Grad von a betrachtet, in dessen Index die entsprechende irreduzible Fraktion entsprechend dazu steht. Später werden wir erklären, warum dieser Zustand für uns so wichtig ist. Wenn wir also den Datensatz a m · k n · k haben, können wir ihn auf a m n reduzieren und die Berechnungen vereinfachen.

Wenn n eine ungerade Zahl ist und m eine positive Zahl ist, ist a eine nicht negative Zahl, dann ist a m n sinnvoll. Die Bedingung von nichtnegativem a ist notwendig, da die Wurzel einer geraden Potenz nicht aus einer negativen Zahl gezogen wird. Wenn der Wert von m positiv ist, kann a sowohl negativ als auch null sein, da Wurzel ungeradzahligen Grades kann aus einer beliebigen reellen Zahl extrahiert werden.

Kombinieren Sie alle Daten über den Definitionen in einem Datensatz:

Hier bedeutet m / n einen nicht reduzierbaren Anteil, m ist eine ganze Zahl und n ist eine positive ganze Zahl.

Für jeden gewöhnlichen reduzierten Anteil m · k n · k kann der Grad durch a m n ersetzt werden.

Der Grad der Zahl a mit einem irreduziblen gebrochenen Index m / n kann in den folgenden Fällen als an n ausgedrückt werden: - für jedes reelle a positive ganze Zahlenwerte von m und ungeradzahlige natürliche Werte von n. Beispiel: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

- für jeden reinen a-Wert ungleich Null ganze negative Werte von m und ungerade Werte von n, zum Beispiel 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

- für jedes nicht negative a, ganzzahlige positive Werte von m und sogar n, zum Beispiel 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

- für jedes positive a, eine ganze Zahl von negativem m und sogar n, beispielsweise 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Bei anderen Werten ist der Grad mit einem fraktionellen Exponenten nicht definiert. Beispiele für solche Grade: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Lassen Sie uns nun die Bedeutung der oben genannten Bedingung erklären: Warum eine Fraktion mit reduziertem Index durch eine Fraktion durch eine nicht reduzierbare Fraktion ersetzen? Wenn wir das nicht tun würden, hätten wir solche Situationen, sagen wir 6/10 = 3/5. Dann sollte es wahr sein (- 1) 6 10 = - 1 3 5, aber - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 und (- 1) 3 5 = (-1) 3 5 = -1 5 = -1 5 5 = -1.

Die Bestimmung des Grades mit einem gebrochenen Index, den wir zuerst zitiert haben, ist praktischer als der zweite, daher werden wir ihn weiter verwenden.

Somit ist der Grad einer positiven Zahl a mit einem gebrochenen Index m / n als 0 m n = 0 m n = 0 definiert. Bei negativem a ist der Eintrag amn nicht sinnvoll. Der Nullgrad für positive gebrochene Indikatoren m / n ist definiert als 0 m n = 0 m n = 0, für negative gebrochene Indikatoren definieren wir nicht den Grad von Null.

In den Schlussfolgerungen stellen wir fest, dass wir jeden gebrochenen Index sowohl in Form einer gemischten Zahl als auch in Form eines Dezimalbruchs schreiben können: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Bei der Berechnung ist es besser, den Exponenten durch einen gewöhnlichen Bruch zu ersetzen und dann die Definition des Exponenten mit einem gebrochenen Exponent zu verwenden. Für die obigen Beispiele erhalten wir:

5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Was ist ein Abschluss mit einem irrationalen und gültigen Indikator?

Was sind echte Zahlen? Ihr Satz enthält sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Um zu verstehen, was ein Grad mit einem gültigen Indikator ist, müssen wir Grad mit rationalen und irrationalen Indikatoren definieren. Über Rationales haben wir oben schon gesprochen. Schritt für Schritt werden wir mit irrationalen Indikatoren umgehen.

Nehmen wir an, wir haben eine irrationale Zahl a und eine Folge ihrer dezimalen Annäherungen a 0, a 1, a 2.... Nehmen Sie beispielsweise den Wert a = 1, 67175331... dann

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,... a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,...

und so weiter (wobei die Approximationen selbst rationale Zahlen sind).

Folgen von Näherungen können wir eine Folge von Graden a a 0, a a 1, a a 2, zuordnen.... Wenn wir uns daran erinnern, dass wir zuvor davon gesprochen haben, die Zahlen rational zu erhöhen, dann können wir die Werte dieser Grade selbst berechnen.

Nehmen Sie zum Beispiel a = 3, dann ist a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753... usw.

Die Reihenfolge der Grade kann auf eine Zahl reduziert werden, die der Wert von Grad c mit der Basis a und dem irrationalen Index a ist. Zusammenfassend: ein Abschluss mit einem irrationalen Index der Form 3 1, 67175331.. kann auf 6, 27 reduziert werden.

Der Grad einer positiven Zahl a mit einem irrationalen Exponenten a wird als a geschrieben. Ihr Wert ist die Grenze der Folge a a 0, a a 1, a a 2,... wo a 0, a 1, a 2,... sind aufeinander folgende dezimale Annäherungen der irrationalen Zahl a. Ein Null-Basis-Grad kann auch für positive irrationale Indikatoren definiert werden, mit 0 a = 0 Also 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Und für Negative ist dies nicht möglich, da beispielsweise der Wert 0 - 5, 0 - 2 π undefiniert ist. Eine zu irgendeinem irrationalen Grad angehobene Einheit bleibt beispielsweise eine Einheit, und 1 2, 1 5 bis 2 und 1-5 sind gleich 1.